riemann假设<!!-- #EndEditable -->

概括:

在研究素数riemann扩展欧拉的zeta函数的分布时(仅限于S.真实的部分大于一个)
Zeta(s)= 1 + 2 ^( -  s)+ 3 ^( -  s)+ 4 ^( -  s)......
到整个复杂的飞机(SAN.简单的杆子S.= 1)。riemann指出,他的Zeta函数在-2,-4,-6,......;所有的非活动零是对称的关于线Re(S.)= 1/2;他计算的少数人在那条线上。Riemann假设是所有非血管零都在这条线上。证明riemann假设会让我们大大锐利的许多数字理论结果。例如,在1901年,von Koch表明,Riemann假设相当于:
[PNT +错误项]

但它不会变得更容易理解!有几种标准的方法可以概括黎曼假设。

1. riemann假设:

欧拉研究了总和


Zeta(s)= 1 + 2 ^( -  s)+ 3 ^( -  s)+ 4 ^( -  s)......
对于整数S.> 1(清楚Zeta.(1)是无限的)。欧拉发现了一个公式Zeta.(2K.)到伯努利数,得到的结果如下Zeta(2)= PI ^ 2/6Zeta(4)= PI ^ 4/90。但这和质数有什么关系呢?答案就在下面的质数乘积中P.(也由欧拉发现):

[欧拉的产品]
欧拉写着这一点

[欧拉的产品]
riemann后来延长了定义Zeta.S.)到所有复数S.(除了简单的杆子外S.= 1用残留物)。欧拉的产品仍然是真实的一部分S.大于一个。riemann派生了riemann zeta函数的功能方程:

[功能等式]
伽玛函数的地方伽玛S.)是阶级功能的众所周知的延伸(伽玛N+1)=N!!对于非负整数N):

[伽玛汁]
(这里的积分形式成立,如果实部S.大于一个,产品形式适用于所有复数S.。)

riemann zeta函数有琐碎的零在-2,-4,-6,......(极点伽玛S./ 2)))。使用欧拉产品(具有功能方程),很容易显示所有其他零关键条带非真正的复杂数字0<关于(S.<1,它们对称临界线关于(S.) = 1/2。的未经证实的riemann假设是所有的非活动零实际上都在临界线上。

1986年,人们证明了黎曼ζ函数的前1,500,000,001个非平凡零确实具有实部1 / 2 [<一种href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/VTW86">VTW86]。在1915年证明,临界线路和1989年康里y在关键条带上超过40%的零零是临界线路的<一种href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Conrey89">Conrey89]。但是,riemann假设仍有可能是假的。从2001年8月到2005年,Sebastian Wedeniwski Ran Zetagrid验证了前1000亿零的临界线。

2.谁关心?

1900年,希尔伯特列出了证明或使这个假设作为最重要的数学未解决的问题之一,它是了解素质的整体分布。当Hadamard和de la Vallee Poussin证明了<一种href="//www.sheshebar.com/howmany.html">素数定理,他们实际上展示了

pi(x)= li(x)+ o(x * e ^( -  a * sqrt(log x)))

对于一些积极的常数一种,并且它们通过将零的零点的真实部分偏离0和1来完成此操作。误差项直接取决于临界条内的无零区域所知的内容。随着我们对该地区大小的了解增加,误差项减少了。事实上,1901年,冯Koch表明,黎曼假设相当于

pi(x)= li(x)+ o(x ^(1/2)log x)

有许多结果如此,看,例如[<一种href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/BS96">BS96.]。

RH的概括

再次召回我们从欧拉的起点:

Zeta(s)= 1 + 2 ^( -  s)+ 3 ^( -  s)+ 4 ^( -  s)......

为什么分子都是一个?改变系列的一个重要方法是用功能替换分器χ(N)称为Dirichlet字符(这些可以被视为存在正整数的函数K.χ(N+K.)=χ(N) 对所有人N和χ(N)=每当GCD时(NK.)> 1)。得到的无限和L(α,s)是Dirichlet L函数。我们再次对整个复杂平面上的一个杂项进行分析地继续函数。这延长的riemann假设是对于每个Dirichlet字符χ和零L(χ,s)= 0,0<关于(S.<1,有真实的第1/2部分。这些L函数的零的分布与具有固定差异的算术进展中的算术数量密切相关K.。应该证明扩展黎曼假设吗<一种href="//www.sheshebar.com/prove/prove2_3.html">米勒的测试将提供一般数量的有效的原始证据。例如,参见[<一种href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/BS96">BS96.8.5-6]。

推广欧拉和的另一种方法是离开有理数域,在有理数的有限域扩展中用非零理想(特殊元素集)的范数代替分母K.(称为数字字段)。得到的和是的狄德金ζ函数K.并且可以再次分析继续。这些Zeta函数在零的零中也具有简单的杆,在关键区域中具有无限的零。这广义黎曼假设再次认为临界区域中的零都有真实的第1/2部分。例如,参见[<一种href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/BS96">BS96.8.7]。

从Primepages ©Chris Caldwell。