欧几里得关于素数无限的证明(约公元前300年)

欧几里得可能是第一个证明存在无穷多个质数的人。即使在2000年后,它仍然是一个优秀的推理模型。下面我们跟随Ribenboim关于欧几里得证明的陈述[<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Ribenboim95">Ribenboim95,第3页],见“<一个href="//www.sheshebar.com/notes/proofs/infinite/index.html">有无限多个质数”“为了别的证据。

定理。
有无穷多个质数。
证明。
假设p 1= 2 <p 2= 3 <…<pr都是质数。让P=p 1 p 2pr+ 1,让p成为一个主要分裂P;然后p不能是任何的p 1,p 2、……pr,否则p可以平分差额P-p 1 p 2pr= 1,这是不可能的。这'p还是另一个质数,然后呢p 1,p 2、……pr不是所有的质数。

这是一个常见的错误,认为这个证明说明产品p1p2pr+ 1是质数。证明实际上只使用了一个质数除以这个乘积(参见<一个class="glossary" title="primorial质数" href="//www.sheshebar.com/glossary/page.php/PrimorialPrime.html">primorial质数)。

上面的证明实际上和欧几里得写的有很大不同。我们现在把整数理解为抽象的对象,但古希腊人把整数理解为单位数(单位1不是数字,他们首先是2),并用线段的长度(某个单位线段的倍数)来表示它们。谈到可除性,欧几里得写到“测量”,看到一个数字(长度)一个测量(分)另一段长度b如果是长度段的整数一个使总长度等于b

古希腊人也没有现代意义上的无限。现在的小学生很容易理解线条是无限的,但古人在这方面又更加具体了。例如,他们认为线是可以无限延伸的线段(而不是我们认为的无限的一部分)。因此,欧几里得不可能写出“有无限多的质数”,而应该写成“质数比任何给定的众多质数都要多。”

最后,欧几里得有时用一种今天无法接受的风格来写他的“证明”——给出一个例子,而不是处理一般情况。很明显,他理解了一般情况,只是没有符号来表示。他对这个定理的证明就是这些例子中的一个。

下面是一个更接近欧几里得的证明,但仍然使用我们现代的数字和证明概念。看大卫·乔伊斯的页面<一个href="http://aleph0.clarku.edu/%7Edjoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html">欧几里得的实际证明的英文翻译。

定理。
这里的质数比任何有限的质数列表中找到的质数都多。
证明。
调用有限表中的质数p 1,p 2、……pr。让P是这些素数的公倍数加上1(例如,P=p 1 p 2pr+ 1)。现在P要么是质数,要么不是。如果它是质数,那么P就是不在表里的质数。如果P不是质数,那么它能被某个质数整除,叫它p。请注意p不能是任何的p 1,p 2、……pr,否则p除以1,这是不可能的。这'p是原始列表中没有的质数。不管怎样,最初的名单都是不完整的。

注意,在这个证明中找到的是另一个素数——不在给定初始集合中的素数。这个新的质数没有大小限制,它甚至可能比初始集合中的一些质数还要小。例如,如果我们从set开始:

{2,3,7,43, 13, 139, 3263443},

那么最小的选择P这7个质数的乘积加上1,那么P= 547607103331051.新发现的质数将是547、607、1033或31051,它们都比原始集合中的最后一个质数要小。

打印自PrimePages ©Chris Caldwell。