有无数的素数。无限的多大?

内容:

  1. 介绍- 有什么问题?
  2. 可计算(是否有另一种方法来区分无限套装?)
  3. 融合和分歧(定义和例子)
  4. 次数倒数的总和(发散!但对于双重素数......)

[向上]1.简介 - 问题是什么?

大约2300年前欧几里德证明了没有绝对的素质。对于数学家“无数很多”是一个不完整的答案 - 然后问<一世>“无限多大?”这素数定理,哪个州的素数少于<一世>X大约是<一世>X/日志<一世>X(自然日志),可能是最好的答案。回答这个问题的另一种方法是询问素质反转的总和是否会聚 - 即,当我们加入以下分数时会发生什么?

1 1 1 1 1 1 1 1 1  -  +  -  +  -  +  -  +  -  +  -  +  -  +  -  +  -  +。。。2 3 5 7 11 13 17 19 23

如果您了解条款收敛分歧,然后跳到第四节以下。

[向上]2.可计算

在...方面<一世>真实的分析如果您的元素之间存在一个到一个对应关系,我们将定义两组等同于等同于(即,如果我们可以搭配它们)。据说是相当于正整数的集合可数。例如,Primes是可计算的,因为我们可以将1与第一个素数配对,第二个,...

(1,2),(2,3),(3,5),(4,7),(5,11),(6,13),......

类似地,整数的所有无限子集是可数集合 - 所以这件概念并没有帮助我们!

[向上]3.收敛性和分歧

在处理一组无限的正整数时,我们想要一些衡量其尺寸的尺寸,我们经常看一下互惠总和。例如,考虑正方形的倒数的总和:

1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...

随着我们增加这个系列的越来越多的条款,总和是任意靠近的<一世mg src="//www.sheshebar.com/gifs/pi.gif" alt="PI.">^ 2/ 6(这里<一世mg src="//www.sheshebar.com/gifs/pi.gif" alt="PI.">是圆周与圆的直径的比率)。所以我们说这个系列汇聚至<一世mg src="//www.sheshebar.com/gifs/pi.gif" alt="PI.">^ 2/ 6。

第二个例子考虑系列

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + 0.000009 +。。。

该系列明显收敛到一个。

接下来,考虑正整数的倒数的总和(这被称为谐波系列):

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...

当我们加起来越来越多的这个系列的术语时,总和只是继续大于任何预定常数。(因此,如果我们添加足够的条款,总和大于10,大于1010.,大于101000000......)。当发生这种情况时,我们会说这个系列发散

如果您遇到谐波系列的困难,请以这种方式想到:

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...
=(1/1)+(1/2)+(1/3 + 1/4)+(1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8)+ ...

(每组括号都停止在两种幂的互惠权的倒数。)通过替换每组括号中的术语<一世>最小的术语(在那些括号中)我们获得更小的总和:

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...
>(1/1)+(1/2)+(1/4 + 1/4)+(1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8)+ ...
= 1/1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...

这显然是任意大的!

[向上]4. PRIMES倒数的总和

当一组正整数的倒数的总和(例如:Square Integers)时,我们认为该设置为“小”。当它发出(示例:正整数)我们认为该设置为“较大”。那么这组素数呢?

我们将在下面展示素数的倒数的总和偏离,因此,PRIMES是整数的“大”子集。这是一个简单的后果素数定理,但更多的基本证据可获得(例如,[Ribenboim88第156-7])。另一方面,猜测有无限的双胞胎素数(这是双重猜测,大多数人都认为这是真的 - 我们尚未持有证明)。尽管如此,已被证明是双重素数的互核的总和约为1.90216054 ......(这被称为Brun的常数)。因此,双引线仅是整数的“小”子集(从这个意义上)。

要查看引用的互惠互动之和,我们将遵循[HW79.p16-17]并首先绑定n(<一世>X)这是正整数的数量<一世>N少于<一世>X它只能通过第一个素质可分开<一世>一世素数。我们可以写下任何这样的<一世>N作为<一世>K.m2在哪里<一世>K.是免费的。因为只有<一世>一世可以分裂的素数<一世>K.,我们知道究竟有2一世选择<一世>K.(每一个<一世>一世素数要么使用,要么是不是)。还<一世>m2<N<<一世>X,所以我们有n(<一世>X)X)2一世

现在假设Primes的倒数总和会收敛,然后有一个整数<一世>一世这样的剩余部分在第一个之后<一世>一世术语(系列的“尾巴”)不到一半:

1 1 1 1 1 ---- + ---- + ---- + ---- +。。。< - 。<一世>p p p p p2<一世>一世+1<一世>一世+2<一世>一世+3<一世>一世+4

(这里的分母是<一世>一世+1<一世>英石主要的,<一世>一世+2<一世>nPrime等)。正整数的数量<一世>N少于<一世>X它被划分的<一世>P.最多<一世>X / P.,因此那些由除第一个之外的任何素数无线<一世>一世素数,<一世>X- n(<一世>X),最多

x x x x x ---- + ---- + ---- + ---- +。。。< - 。<一世>p p p p p2<一世>一世+1<一世>一世+2<一世>一世+3<一世>一世+4

这给了n(<一世>X)<一世>X/ 2。将此与我们的上限相结合(<一世>X) 我们有

X/ 2 X)X)⋅2一世

但这对所有人来说都是假的<一世>X大于22<一世>一世+2,完成证明。

值得注意的是,素质互联的部分和存在良好的界限。如果我们让s(<一世>X)= PRIMES的倒数的总和小于<一世>X然后是<一世>X> 1,

日志日志<一世>XX)<日志日志<一世>X+ b + 1 /(日志<一世>X)2

其中b是欧拉的γ加上素质的总和<一世>P.(1 / /<一世>P.+ log(1-1 /<一世>P.))[BS96.,thm 8.8.5]。B约为0.261497。

从Primepages ©Chris Caldwell。