有无穷多个质数。无穷大有多大?

内容:

1. 介绍-问题是什么?
2. 可数性(有其他方法来区分无限集吗?)
3. 收敛性和散度(定义和示例)
4. 素数倒数的和(发散!但对于双胞胎素数来说…)

1.引言——问题是什么?

大约2300年前欧几里得证明有无穷多个质数。对于数学家来说，“无限多”是一个不完整的答案——他们会问<我>“无穷大有多大?”的素数定理,哪个表述了小于的质数的个数<我>x大约是<我>x/日志<我>x(自然对数)可能给出了最好的答案。另一种回答这个问题的方法是问质数的倒数的和是否收敛，也就是说，当我们把下面的分数加起来时会发生什么?

1 1 1 1 1 1 1 1 1  - + - + - + - + -- + -- + -- + -- + -- + . . .23 5 7 11 13 17 19 23

如果你理解这些术语的话收敛和散度，然后跳转至第四部分在下面。

2.可数性

在…领域<我>实分析如果两个集合的元素之间存在一一对应关系(也就是说，如果可以将它们配对)，则定义它们是等价的。与正整数等价的集合称为可数名词。例如，素数是可数的，因为我们可以把1和第一个素数配对，把2和第二个素数配对，…

类似地，所有整数的无限子集都是可数集——所以这个概念帮不上什么忙!

3.收敛性和散度

当处理一个无穷正整数集合时，我们想知道它的大小，我们通常看倒数的和。例如，考虑平方和的倒数:

当我们把级数中越来越多的项加起来，和会任意接近<我米g src="//www.sheshebar.com/gifs/pi.gif" alt="π">/ 6(这里<我米g src="//www.sheshebar.com/gifs/pi.gif" alt="π">是圆的周长与直径的比值)。我们说这个级数是收敛的来<我米g src="//www.sheshebar.com/gifs/pi.gif" alt="π">/ 6。

对于第二个例子，考虑这个系列

这个级数显然收敛于1。

接下来，考虑正整数的倒数的和(这被称为调和级数):

当我们把级数中越来越多的项加起来这个和就会越来越大，比任何预定的常数都大。如果我们加足够多的项，和大于10¹⁰，大于10^1000000……)。当这个发生时，我们说级数发散。

如果你很难看出调和级数是发散的，可以这样想:

(其中每一组括号在2的幂的倒数处停止。)将每组括号中的项替换为<我>最小的括号中的项，我们得到一个更小的和:

它明显变得任意大!

4.素数倒数的和

当一组正整数的倒数的和收敛时(例如:平方整数)，我们认为这个集合是“小的”。当它发散时(例如:正整数)，我们认为这个集合“更大”。那么素数的集合呢?

我们将在下面展示素数倒数的和是发散的，质数是整数的一个“大”子集。这是一个简单的结果素数定理，但也有更基本的证明(例如，[Ribenboim88页156 - 7])。在另一方面，它推测有无穷多个孪生质数(这是双胞胎'猜想在美国，大多数人都相信这是真的——只是我们还没有证据)。然而，已经证明了两个质数的倒数的和约为1.90216054。(这就是所谓的布朗是常数)。所以孪生素数只是整数的一个“小”子集(在这个意义上)。

要看素数的倒数的和发散，我们将遵循[HW79p16-17]，并从N(<我>x)表示正整数的个数<我>n不到<我>x哪个只能被第一的质数整除<我>我质数。我们可以写任何这样的<我>n作为<我>k^。米²在哪里<我>k广场是免费的。因为有<我>我可以除的质数<我>k，我们知道正好有2个^我的选择<我>k(每一个<我>我素数要么使用，要么不使用)。也<我>米²<n<<我>x，我们有N(<我>x<√<我>x)^。2^我。

现在假设质数的倒数的和收敛，那么就有一个整数<我>我在第一个之后剩下的<我>我术语(系列的“尾巴”)少于一半:

1 1 1 1 1 ---- + ---- + ---- + ---- + . . .< - - - - - -。<我>P P P2<我>我+ 1<我>我+ 2<我>我+ 3<我>我+ 4

(分母是<我>我+ 1<我>圣主要的<我>我+ 2<我>nd素数等等)。正整数的个数<我>n不到<我>x能被什么整除<我>p最多是<我>x / p可以被除第一个质数以外的任何质数整除<我>我质数,<我>x- N (<我>x)，最多

X X X X X ---- + ---- + ---- + ---- + . . .< - - - - - -。<我>P P P2<我>我+ 1<我>我+ 2<我>我+ 3<我>我+ 4

这给N (<我>x) ><我>x/ 2。把这个和N的上界结合<我>x)我们有

但这对所有人来说都是错误的<我>x大于2^{2<我>我+ 2}，完成证明。

值得注意的是，素数倒数的部分和有一个很好的界。如果让S(<我>x) =小于的素数的倒数的和<我>x,然后<我>x> 1,

B是欧拉γ加上所有质数的和<我>p(1 /<我>p日志(1 - 1 / +<我>p)) (BS96, Thm 8.8.5]。B大约是0.261497。