多少次素数在那里吗?

内容:

  1. 介绍:询问正确的问题
  2. 素数定理
  3. 历史和π(π)的其他近似x)
  4. 有更好的估计!

[向上]”width=1.简介:询问正确的问题

超过2,300年<一个href="//www.sheshebar.com/notes/proofs/infinite/">欧几里得证明质数的数量是无限的,所以有两个问题可能会出现在脑海中:

  1. x> 0。比x小的质数有多少?
  2. 有无穷多个质数,但是无穷大有多大呢?

本文档将集中讨论第一个问题。第二个问题在"<一个href="//www.sheshebar.com/infinity.shtml">无穷大有多大?。”

1.1。π(x)为小于或等于质数的个数x

x是一个正数。"小于多少质数"的问题x?”这个问题被问得如此频繁,以致于它的答案有了一个名字:

π(x)=小于或等于的素数的数量x

小于25的素数是2、3、5、7、11、13、17、19和23,因此π(3) = 2, π(10) = 4, π(25) = 9。(在<一个href="#table">下一个子部分)。请看下图,并注意到π(π)的曲线是多么不规则。x)表示小值x

[π(x),0 <x <100]的图”src=现在备份并查看π(x)。[π(x), 0<x<1000]”src=

所以即使π(x)是<一个href="//www.sheshebar.com/notes/gaps.html">“本地”不规则,其值有一定的趋势。(<一个href="//www.sheshebar.com/gifs/pi1000000.gif">图到1,000,000.)。

在本文中,我们将学习π(x)、质数定理(量化这种趋势)和几个经典的π近似(x)。

1.2。Π的值表(x)

为了价值x在这个表中(假设为10,000,000,000)π的值为x)可以通过查找并计算所有质数来找到。

在计算机年龄之前,许多数学家形成了素质的表格。分布的最广泛分布为D. N.Leher的素质表到10,006,721 [<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Lehmer14">Lehmer14]。到目前为止,最令人惊奇的是库利克在1867年完成的一张表格。这个表列出了整数(因此是所有质数)的最小因数,最大值是100,330,200!

在1870年代的迈森开发了一种计算π的聪明方式(x,并在1885年(稍有错误)计算出π(10)9)。Meissel的方法是由1959年的D. H. Lehmer简化的方法,然后在1985年通过Lagarias,Miller和Odlyzko使用筛子技术改进了[<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/LMO85">LMO85]。

1994年Deléglise和Rivat [<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/DR96">DR96]再次改进了该技术以找到π的值(1017)和π(1018)。Deléglise用改进的算法继续这一工作,找到π(10)20.)和其他值(见他的E-mail消息<一个href="//www.sheshebar.com/notes/md.html">1996年4月18日和<一个href="//www.sheshebar.com/notes/md6-96.html">1996年6月19日)。看到<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Riesel94">riesel94.有关如何进行这些计算的实际信息。

Xavier Gourdon的分布式计算项目确定π(4*10)22),<一个href="http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/Pix/pixproject.html">但当他们发现π(10)的计算中至少有一个错误23)。Tomás Oliveira e Silva有<一个href="http://sweet.ua.pt/tos/primes.html">广泛的价值表π(x)和pi.2(x)。2007年,他重新评估了π(10)23)获取表中的值。此计算是在一台机器上完成的,并于2008年进行了验证。

表1.π的值(x)
n
x
π(x)
裁判
1
10
4
2
One hundred.
25
3.
1000年
168.
4
10,000
1,229
5
10,000
9592年
6
1000000年
78498年
7
10,000,000.
664579年
8
100,000,000.
5,761,455
9
1000000000年
50847534年
10
10,000,000,000.
455,052,511.
11
100000000000年
4,118,054,813
12
1,000,000,000,000
37607912018年
13
10000000000000年
346065536839年
14
100000000000000年
3204941750802年
(<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/LMO85">LMO85]
15
1000000000000000年
29844570422669年
(<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/LMO85">LMO85]
16
10,000,000,000,000,000,000,000,000
279238341033925年
(<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/LMO85">LMO85]
17
100,000,000,000,000,000,000,000
2623557157654233年
(<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/DR96">DR96]
18
1000000000000000000年
24739954287740860年
(<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/DR96">DR96]
19
10,000,000,000,000,000,000,000
234057667276344607年
20.
100,000,000,000,000,000,000,000,000,000
2220819602560918840年
21
1000000000000000000000年
21,127,269,486,018,731,928
22
10,000,000,000,000,000,000,000,000
201,467,286,689,315,906,290
23
100000000000000000000000年
1925320391606803968923年
24
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
18435599767349200867866年
(<一个href="//www.sheshebar.com/notes/pi(10to24).html">笔记)
25
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
176,846,309,399,143,769,411,680

π(10)的值24假设J.Beethe,J.Franke,A.Jost,T.Kleinjung的未经证实的Riemann假设的解析方法发现了解析方法。它们的方法“类似于LAGARIAS和ODLYZKO所描述的方法,而是使用WEIL显式公式而不是复杂的曲线积分”(参见他们的<一个href="//www.sheshebar.com/notes/pi(10to24).html">电子邮件宣布结果2010年7月)。随后通过D. J. Platt [<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Platt2012">Platt2012]。

2013年5月,J. Buethe, J. Franke, A. Jost, T. Kleinjung用基于Weil显式公式的解析方法无条件完成了π(10^25)的计算。


[向上]”width=2.素数定理:近似π(x)

尽管素数的分布似乎是随机的(可能有无穷多个孪生素数,而且素数之间存在(肯定)任意大的间隙),但函数π(x)表现得出奇地好:事实上,它已经得到了证明(见<一个href="#hist">下一节) 那:

素数定理:不超过的质数数目x渐近x/ lnx

根据π(x)我们会这样写:

素数定理:π(x) ~x/ lnx

这(大致)意味着x/ lnx是π(x),但在我们考虑这个和其他结果之前,让我们更具体一点:

一个(x)是渐近b(x)“ 和 ”一个(x)~ b(x)“两者都意味着极限(如x趋近于无穷)的比值一个(x)/ b(x)是1。

如果你没有学过微积分,这意味着你可以一个(x) /b(x)尽可能接近1,只要你需要它x足够大。警告:一种(x)~b (x)不是意味着一个(x)- - -b(x)很小!例如,x2是渐近x2-x,但它们之间的区别,x,得到任意大x趋于无穷。

结果一:你可以近似π(x),x/ (lnx- 1)

表2。π(x)节x/ lnx
x π(x) x/ lnx x/ (lnx-1)
1000 168. 145 169.
10000 1229 1086 1218
100000 9592 8686 9512
1000000 78498 72382 78030.
10000000 664579 620420 661459
100000000 5761455. 5428681 5740304

素数定理清楚地意味着您可以使用x/ (lnx-一个)(任何常量一个)以接近π(x)。素数定理用一个= 0,但<一个href="#better">它已经被证明那一个= 1是最好的选择。

还有长一点的桌子<一个href="#table3">下面和(只有π(x))<一个href="#table">以上。

例子:最近有人给我发邮件要了一份名单所有最大为300位的质数。因为素数定理意味着这个列表大约有1.4*10297.条目我们知道不可能有这样的列表!

请注意Pierre Dusart [<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Dusart99">DusArt99.]表明如果x> 598

(x/ lnx)(1 + 0.992 / Lnx)<π(x)<(x/ lnx)(1 + 1.2762 / lnx)
(上限对所有人都成立x> 1)。这给了更大的范围x。请注意x/ lnx <π(x)x> 10。

结果二:nTh '是关于nlnn

让p (n)是n'。证明素数定理与这个表述等价是很容易的

定理:p (n) ~nlnn

(见<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/HW79">哈代和赖特,第10页)。更好的估计是

定理:p (n) ~n(ln.n+ ln ln.n- 1)

(见<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Ribenboim95">Ribenboim95pg 249]。

例子:这些公式预测第100万个质数分别是1380万和1540万。实际上,百万分之一的质数是15,485,863。

在这些方面已经有了很多改进;例如,罗宾[<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Robin83">罗宾83.]表明如果n>8601[实际上罗宾错误地使用了7021],那么

n(ln.n+ ln ln.n- 1.0073) < p(n) <n(ln.n+ ln ln.n- - - - - - 0.9385)

最近,马西亚斯和罗宾[<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/MR96">MR96.]表明如果n>15985,那么

p (n)< n(ln.n+ ln ln.n- - - - - - 0.9427)

而如果n>13,那么

p (n)< n(ln.n+ ln ln.n- 1 + 1.8 ln lnn/ ln.n)

(这对大型更好n)。Pierre Dusart [<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Dusart99">DusArt99.]使这些结果更强壮并显示出来

p (n) >n(ln.n+ ln ln.n- 1)

对所有人n。Dusart的文章还提供了更好的界限,在以下众所周知的渐近扩展中更接近下一个术语pn。这种渐近扩张的第一个术语由CIPOLLA给出[<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Cipolla1902">Cipolla19021902年):

p (n) =n(ln.n+ ln ln.n- 1 + (ln ln)n) - 2) / lnn-
((ln ln(n))2- 6ln ln (n+ 11)/(2 log2 n+ O(ln lnn/ ln.n)3.))

再一次<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Ribenboim95">Ribenboim95和<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Riesel94">riesel94.是浏览更多信息的优秀起点。顺便说一句,如果你对此感兴趣nTh '表示小n(比如说少于1,000,000,000),然后使用<一个href="//www.sheshebar.com/nthprime/">的n素质页面。”

结果三:随机整数出现的概率x素数约为1 / lnx

x是一个正整数。毕竟x/ lnxx小于或等于的正整数x是质数,其中一个是质数的概率是1/lnx

例子:假设我想求一个1000位的质数。如果我选择1000位整数x来<一个href="//www.sheshebar.com/prove/">素性测试 随机,那么我期望测试ln(101000在找到素数之前,它们或大约2302个整数。显然,如果我使用奇数整数,我可以将此估计乘以1/2,如果我选择不可分割的整数,则我可以乘以2/3,...

另一种说法是质数的密度小于x约为1 / lnx。下面是小值的实际密度的图x

质数的密度从0到200”><h2 class=[向上]”width=3.素数定理的历史

1798年,Legendre发表了π(尺寸)的第一个重要猜想(x),在他的书中Essai sur la Théie des Nombres他说

勒让德:π(x)大约是x/ (lnx- 1.08366)

显然,Legendre猜想等价于素数定理,常数1.08366是基于π(π)的有限表得出的。x)(只到x= 400,000)。在长期1中是<一个href="#better">一个更好的选择比Legendre的1.08366。

高斯也在研究质数表,并提出了一个不同的估计(可能在1791年首次考虑),在1849年写给恩克的一封信中提出,并于1863年首次发表。

高斯:π(x)约为李(x1/ln的积分的主值uu= 0u=x)。

再次注意到高斯的猜想相当于素数定理。让我们比较这些估计值:

表3。近似π(x)的比较
x π(x) 高斯李 勒让德 x/ (lnx- 1) R (x)
1000 168. 178. 172. 169. 168.4
10000 1229 1246 1231 1218 1226.9.
100000 9592 9630 9588 9512 9587.4
1000000 78498 78628 78534 78030. 78527.4
10000000 664579 664918 665138 661459 664667.4
100000000 5761455. 5762209 5769341 5740304 5761551.9.
1000000000 50847534 50849235 50917519 50701542 50847455.4
10000000000 455052511 455055614 455743004 454011971. 455050683.3.

在这个表中Gauss' Li(x)总是大于π(x),所有的小公司都是如此x>2.然而在1914年利特伍德证明了π(x)李津(x)假设经常毫无限度地占据正负值。1986年,TE RIELE显示有超过10个180.连续整数x对于哪个π(x李)> (x6.62之间)10370和6.6910370

在1850年,切比雪夫在证明素数定理方面取得了第一个真正的进展,证明了存在正常数一个<1<b这样

一个(x/ lnx)<π(x) <b(x/ lnx)

如果π(x)/(x/ln x)有极限,那么它的值一定是1。西尔维斯特在1982年改进了切比雪夫的方法,并证明了我们可以使用一个= 0.95695,b= 1.04423 IF.x足够大。(1962年,显示我们可以使用一个= 1x> 10 [<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/RS62">RS62]。)

最后,在1896年,哈达玛和德·拉·珀森独立完全证明了素数定理利用黎曼关于π(x)到复杂的Zeta功能。de laValléepoussin也证明了高斯李(x)对π(x)比x /(lnx-一个),无论赋给该常数的值是多少一个(也是最好的价值一个是1)。比这些更好的近似是黎曼函数[<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Ribenboim91">Ribenboim91,<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Riesel94">riesel94.]。

1949年艾尔伯格[<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Selberg49">Selberg49.]保罗·埃尔德瓦斯[<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Erdos49">Erdos49]独立地给出了素数定理的第一个初等证明——这里初等意味着不使用现代复分析——事实上他们的证明是非常困难的!哈代和赖特的文章中有一个更容易阅读(但不那么基本)的证明[<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/HW79">HW79教派,-16 - 22.15]。

最后,当Hadamard和De laValléePoussin证明了<一个href="#pnt">素数定理,他们实际上展示了

π = Li(x) + O(x*e^(-a*√(ln x)))”width=

对于一些积极的常数一个。误差项取决于已知的黎曼ζ函数在临界带内的无零区域。随着我们对区域大小的了解的增加,误差项减小。1901年,冯·科赫证明了<一个href="//www.sheshebar.com/notes/rh.html">黎曼假设相当于远程估计:

π(x) = Li(x) + O(x^(1/2)ln x)”width=

[向上]”width=4.更准确的估计

显示R(x)的图近似于π(x)”class=

这一页关注的是素数定理的最简单形式,但还有更好的估计π(x)。简而言之,黎曼ζ函数提供了一种给出π(x),通过对ζ函数的非平凡零求和(按大小递增的顺序)。

π(x)的精确公式”></div>
    <p>(在素数处,π(<i>x</i>)上升一个单位,这个公式在这一步的中间趋于数值。)上面的第一个(也是主要的)项叫做黎曼函数R(<i>x</i>)。</p>
    <div class= R(x)的定义”></div>
    <p>上面的最后一个形式r(<i>x</i>)是Graham级数,是计算这个函数的好方法。右边的图表显示了一个近似R(<i>x</i>)至少是小值<i>x</i>。更适合最小的小公司<i>x</i>值是以下(它们基本上是相同的<i>x</i>)。</p>
    <div class= R(x)的\π(x)近似值”></div>
    <p>要欣赏这些近似的接近,请参阅<一个href=令人印象深刻的偏差表由安德烈Kulsha。

马修·沃特金斯也有<一个href="http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/encoding1.htm">美丽的发展这个信息和一些优秀的动画。

警告

图显示R(x),li(x)和x / ln(x)近似π(x)的图表”><br></strong>
     <p class=图4。图显示R(x),li(x)和x / ln(x)近似π(x)的图表

看看上面的图表很容易,上面显示了李(x)(蓝色),r(x)(黑),π(x)(红色)和x/ lnx(绿色);然后宣布"R(x)是π的最佳估计。x)。”确实是在这个范围内,但是正如我们上面提到的,Li(x) -π(x)无限地变化迹象,靠近它的地方,李(x)将是最好的价值。<一个href="//www.sheshebar.com/references/refs.cgi/Ingham1990">a . e .英是这样说的:

以前,黎曼提出的一个近似π(x)的函数被认为是非常重要的。对于π(x)的所有值,这个函数都以惊人的精度表示π(x),但我们现在看到,它比Li(x)的优越性是虚幻的……对于x的特殊值(我们想多大就多大),一个近似值和另一个近似值与真实值的偏差一样大。

......我们可以通过同样的方式看到函数li(x) - (1/2)li(x1/2)在“平均上”比Li(x)更接近π(x);但即使重复平均,黎曼公式中的后一项也不重要。

问题是,有时沼泽的非琐事零的贡献沼泽的这些扩展中的主要术语。

打印自PrimePages ©Chris Caldwell。