算术基本定理

如果一个号码<我>n不是<一个href="//www.sheshebar.com/glossary/xpage/Prime.html" class="glossary" title="主要的">主要的,然后我们经常寻求<一个href="//www.sheshebar.com/glossary/xpage/Divisor.html" class="glossary" title="因素">因素它变成质数(也就是说,写成质数的乘积)这样的因子分解总是存在的吗?这是因式分解<一个href="//www.sheshebar.com/glossary/xpage/Unique.html" class="glossary" title="独特的">独特的吗?约公元前300年<一个href="//www.sheshebar.com/glossary/xpage/Euclid.html" class="glossary" title="欧几里得">欧几里得回答是<我>元素。今天我们用他的回答如下:

算术基本定理
每个大于1的正整数都可以唯一地表示为质数的乘积,除了项的重排。

规范(或标准)形式因式分解是写的<我>n=<我mg src="//www.sheshebar.com/gifs/Factorization1.gif" alt="p1 ^ e1。p2 ^ e2。P3 ^e3. . . . .pk^ek" width="49" height="58" align="middle">那里的质数<我>p满足<我>p1<<我>p2<……<<我>pk指数是正整数。例如,60 = 22.3.1.51。我们可以这样改写基本定理:大于1的整数的规范因子分解是唯一的。

这个定理(以及任何被称为“基本定理”的定理)都不应该被轻视。在许多数字系统中,因式分解不是唯一的。例如,假设我们只有偶数(像往常一样相加和相乘),如果一个数字不是另外两个偶数的乘积,就称它为“e素数”。然后e素数是2 6 10 14 18…注意36有两个不同的因数分解:62= 218.(看看你能不能创造一些其他的例子。)

是什么让基本定理成立?基本上有两个性质:第一,每个整数都可以写成素数的乘积(这是良序原理的一个简单结果);第二,如果是质数<我>pab,然后<我>p分<我>一个或<我>b(这有时用作质数的定义,请参阅条目<一个href="//www.sheshebar.com/glossary/xpage/prime.html">质数)。

最后,读者可能会喜欢看看欧几里得是如何表述这个定理的。在第九卷的第十四题中,他写道

如果一个数字是最小的<一个href="//www.sheshebar.com/glossary/xpage/Prime.html" class="glossary" title="质数">质数,它不会被任何其他质数测量,除了那些最初测量它的质数。

这里欧几里得用"度量"来表示我们所说的"分割"他是用非常具体的几何意义来考虑的3度量12,因为4个线段的长度为3与1个线段的长度为12是一样的。

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